BAB 1 LOGIKA - matematika

LOGIKA 

PENDAHULUAN

Pada bab ini akan dibahas mengenai proposisi tunggal maupun proposisi
majemuk, mencakup pengertian dan tabel kebenarannya, serta bentuk yang setara
dengan negasi dari proposisi majemuk. Selanjutnya dibahas bentuk kuantor dan
bentuk yang setara dengan pernyataan berkuantor maupun negasinya. Pada
subbab ketiga dibahas prinsip penarikan kesimpulan, baik secara langsung (modus
ponens) maupun secara tidak langsung (modus tolens).
Materi pada bab ini diharapkan dapat memberikan manfaat bagi
mahasiswa dalam hal penalaran untuk menjustifikasi kebenaran suatu pernyataan
yang diterima dan mengemukaan suatu pernyataan yang merupakan kesimpulan
berdasarkan pernyataan-pernyataan yang diketahui sebelumnya.

Pengertian dan Macam-macam Proposisi Majemuk

Proposisiadalah pernyataan yang bernilai benar saja atau salah saja.
Kebenaran suatu proposisi dapat bersifat faktual maupun situasional.
Contoh :
1. Indonesia diproklamasikan pada tanggal 17 Agustus 1945. [proposisi bernilai benar]
2. 2 + 3 = 6. [proposisi bernilai salah]
3. Ali naik kelas. [proposisi bisa bernilai benar atau salah, sesuai situasinya]
4. “Tolong, tutup pintu itu !” [bukan proposisi]
Proposisi majemuk terdiri dari gabungan beberapa proposisi yang dihubungkan dengan perangkai logika, misalnya : ”dan” , “atau”, dan sebagainya. Tabel kebenaran adalah tabel yang memuat semua kasus benar atau salah yang mungkin.
 

Negasi/Ingkaran
Lawan dari hitam biasanya dikatakan putih, tetapi negasi dari hitam adalah tidak hitam. Negasi p adalah suatu proposisi “tidak benar bahwa p”, dinotasikan –p.

Tabel kebenaran dari negasi digambarkan sebagai berikut.
Tabel 1.1 Tabel Kebenaran Negasi

P	-p
B	S
S	B

Contoh :
1. p : Kuda itu berwarna hitam.
   -p : Kuda itu warnanya tidak hitam.
2. p : 5 + 3 = 8
-p : 5 + 3 ¹ 8.
Uraian berikut berkenaan dengan proposisi majemuk, yang meliputi konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.

Konjungsi
Untuk sebarang proposisi p dan q, proposisi “ p dan q” disebut konjungsi.
Contoh :
p : Andi disuruh tinggal di rumah.
q : Budi disuruh tinggal di rumah.
p Ù q: Andi dan Budi disuruh tinggal di rumah.
Dengan ilustrasi contoh di atas, tabel kebenaran dari konjungsi digambarkan sebagai berikut.
Tabel 1.2 Tabel Kebenaran Konjungsi

P	q	p Ù q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Kesimpulan : Konjungsi bernilai benar hanya jika kedua proposisi bernilai benar.

Disjungsi
Proposisi “ p atau q “ disebut disjungsi, yang dinotasikan : p Ú q.
Contoh :
p : Andi disuruh tinggal di rumah.
q : Budi disuruh tinggal di rumah.
p Úq: Andi atau Budi disuruh tinggal di rumah.
Dengan ilustrasi contoh di atas, tabel kebenaran dari disjungsi dapat digambarkan sebagai berikut.
Tabel 1.3 Tabel Kebenaran Disjungsi

p	q	p Ú q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Kesimpulan : Disjungsi bernilai salah hanya jika kedua proposisi bernilai salah.

Implikasi (Kondisional)
Proposisi yang berbentuk “ Jika p maka q “ disebut implikasi (kondisional),
dinotasikan dengan p Þ q.
Contoh :
p : hari tidak hujan
q : saya akan dating
p Þ q : Jika hari tidak hujan, maka saya akan dating.
Dengan ilustrasi contoh di atas, tabel kebenaran dari disjungsi dapat
digambarkan sebagai berikut.
Tabel 1.4 Tabel Kebenaran Implikasi 

p	q	p => q
B	B
B	S
S	B
S	S

Kesimpulan : Implikasi p Þ q bernilai salah hanya jika proposisi p bernilai
benar dan proposisi q bernilai salah.
Pada proposisi majemuk implikasi, terdapat istilah Konvers, Invers, dan Kontraposisi (Kontrapositip).Konvers dari implikasi p Þ q adalahq Þ p, Invers dari implikasi p Þ q adala -p Þ -q, dan Kontraposisi dari implikasi p Þ q adalah-q  Þ -p. Untuk menentukan kebenaran dari konvers, invers, dan kontraposisi
digambarkan pada tabel berikut.
Tabel 1.5Tabel Kebenaran Konvers, Invers, dan Kontraposisi

p	q	p Þ q	q Þ p	- p	- q	-p Þ - q	-q Þ - p
B	B	B	B	S	S	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

Dengan membandingkan dengan kebenaran implikasi, dapat disimpulkan
bahwa implikasi dan kontraposisinya mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Implikasi (Kondisional)

Biimplkasi dari p dan q adalah proposisi “p Þ q dan q Þ p”, disingkat “ p
jika dan hanya jika q “, dinotasikan : p Û q.
Tabel kebenaran dari biimplikasi digambarkan sebagai berikut.
Tabel 1.6. Tabel Kebenaran Biimplikasi

p	q	p Þ q	q Þ p	p Û q
B	B	B	B	B
B	S	S	B	S
S	B	B	S	S
S	S	B	B	B

 Kesimpulan : Biimplikasi bernilai benar jika kedua proposisi mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Biimplikasi dapat dikaitkan dengan istilah ekuivalen. Proposisi p dan q dikatakan ekuivalen jika p mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan q.Notasi untuk ekuivlen sama dengan notasi biimplikasi, yaitu “Û“ atau “º“.
Dari uraian tentang macam-macam proposisi majemuk di atas, dapat ditentukan negasi dari proposisi majemuk, sebagai berikut.
a. Negasi konjngsi: – (p Ùq) º -p Ú -q.
b. Negasi disjungsi: – (p Ú q) º -p Ù -q.
c. Negasi implikasi: – (p Þ q) º p Ù -q.
Buktikan kebenaran dari negasi proposisi majemuk tersebut dengan menggunakan tabelkebenaran!

Pernyataan Kuantifikasi
Pernyataankuantifikasi adalah proposisi yang memuat kata-kata kuantor, yaitu kata-kata yang menunjukkan kuantitas, seperti : semua, beberapa, tidak ada.
Contoh :
a. Semua siswa naik kelas
b. Beberapa mahasisa tidak mengikuti kuliah.
Pernyataan kuantifikasi dapat digambarkan dengan diagram Venn berikut.
Gambar 1.1 Diagram Venn PernyataanKuantifikasi
Pernyataan kuantifikasi dibedakan menjadi dua, yaitu kuantifikasi universal dan kuantifikasi eksistensial yang diuraikan berikut.

Kuantifikasi Universal
Kuantifikasi universal adalah proposisi yang menggunakan kata-kata
“semua” , “setiap”.
Kuantifikasi universal dapat dinyatakan sebagai implikasi.
Contoh:
“Semua pegawai negeri adalah anggota KORPRI”
dapat dinyatakan sebagai
“Jika pegawai negeri maka anggota negeri”.
Negasi kuantifikasi universal “Semua P adalah Q” adalah “Ada P yang tidak Q”.

Kuantifikasi Eksistensial
Kuantifikasi Eksistensialadalah kuantifikasi yang menggunakan kata-kata “ada”, “beberapa”.
Negasi kuantifikasi eksistensial “Beberapa P adalah Q” adalah “Semua P tidak Q”.
Contoh:
Pernyataan: “Beberapa mahasiswa tidak masuk kuliah”
Negasinya: “Semua mahasiswa masuk kuliah”.

Penarikan Kesimpulan
Berkaitan dengan penggunaan logika dalam hal penarikan kesimpulan, dikenal istilah premis, simpulan, dan argumen. Premis adalah himpunan proposisiproposisi yang berlaku, sedangkan simpulan adalah proposisi yang dihasilkan dari premis. Proses menghasilkan simpulan melalui premis disebut argumen. Suatu argumen dikatakan sahih/valid apabila kebenaran semua premisnyamengakibatkan kebenaran konklusi/simpulan.
Prinsip penarikan kesimpulan ada dua macam, yaitu prinsip modus ponens dan prinsip modus tolens.

Prinsip Modus Ponens
Prinsip modus ponensdisebut juga prinsip penarikan kesimpulan langsung. Bentuk umumnya sebagai berikut
Diketahui: Premis 1: p Þ q
                     Premis 2: p
Simpulan: Berlaku q
Contoh:
Premis 1: Jika rajin maka pandai
Premis 2: Ali rajin
Simpulan: Ali pandai.
 

Prinsip Modus Tolens
Prinsip modus tolensdisebut juga prinsip penarikan kesimpulan tidak langsung. Bentuk umumnya sebagai berikut
Diketahui: Premis 1: p Þ q
                     Premis 2: -q
Simpulan: Berlaku -p
Contoh:
Premis 1: Jika Ali kaya maka ia mampu membeli rumah
Premis 2: Amir tidak mampu membeli rumah
Simpulan: Ali tidak kaya.
Dari kedua prinsip di atas dapat digabungkan dengan dalil lain, misalnya dalil rantai yaitu jika diketahui p Þ q dan q Þ r maka berlaku p Þ r.
Contoh:
Premis 1: Jika rajin maka pandai
Premis 2: Jika pandai maka lekas mendapatkan pekerjaan
Premis 3: Ali rajin
Simpulan: Ali lekas mendapatkan pekerjaan.

RANGKUMAN
· Proposisiadalah pernyataan yang bernilai benar saja atau salah saja.
· Konjungsi p Ù qbernilai benar hanya jika proposisi p dan qkeduanya bernilai benar.
· Disjungsi p Ú q bernilai salah hanya jika proposisi p dan q keduanya bernilai salah.
· Implikasi p Þ q bernilai salah hanya jika proposisi p bernilai benar dan proposisi q bernilai salah.
· Kontraposisi dari implikasi p Þ q, yaitu -qÞ -p, mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan implikasinya.
· Biimplikasi p Û q bernilai benar jika proposisi p dan q keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama.
· Pernyataankuantifikasi adalah proposisi yang memuat kata-kata kuantor.
· Kuantifikasi universal “Semua P adalah Q” mempunyai negasi “Ada P yang tidak Q”.
· Kuantifikasi eksistensial “Beberapa P adalah Q” mempunyai negasi “Semua P tidak Q”.
· Prinsip penarikan kesimpulan modus ponens (langsung):
Diketahui: Premis 1: p Þ q
Premis 2: p
Simpulan: Berlaku q.
· Prinsip penarikan kesimpulan modus tolens(tidak langsung):
Diketahui: Premis 1: p Þ q
Premis 2: -q
Simpulan: Berlaku–p.

LATIHAN 1
1. Buatlah tabel kebenaran untuk menunjukkan bahwa: –(p Þ q) º p Ù -q.
2. Tentukan nilai kebenaran (Benar atau salah) dari proposisi : (p Ú-q) Þ (q
Þ r), apabila p Benar, q Salah, dan r Salah.
3. Tuliskan negasi dari : “Jika Ali tidak naik kelas, maka ia malu kepada temantemannya”.
4. Tuliskan pernyataan yang merupakan negasi dari : “Beberapa penduduk
kekurangan pangan “.
5. Tentukan simpulan berdasarkan premis-premis berikut, sehingga menjadi argumen yang sahih.
Premis 1: Semua belah ketupat adalah layang-layang.
Premis 2: Semua persegi adalah belah ketupat
Simpulan: ………………….

DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. & Rorres, C. 1991. Elementary Linear Algebra, Aplication Version, Sixth
Edition. Singapore: John Wiley & Sons, Inc.
Geri Acmadi, dkk. 2009. Mahir Matematika 3 untuk Kelas XII SMA/MA Program
Bahasa. Jakarta: Pusat Perbukuan Depdiknas.
Gunartha, I.G.E. (2003). Statistika Inferensial. Handout mata kuliah Statistika
Program Studi Biologi Universitas Mataram.
Johnson, R.A., & Bhattacharyya, G.K. (1996). Statistics Principles and Methods. 3rd
Ed. New York : John Wiley & Sons, Inc.
Lestari, S. & Kurniasih, D.A. 2009. Matematika 2 untuk SMA/MA Program Studi IPS
Kelas XI. Jakarta: Pusat Perbukuan Depdiknas.
Lestari, S. & Kurniasih, D.A. 2009. Matematika 3 untuk SMA/MA Program Studi
Bahasa Kelas XII. Jakarta: Pusat Perbukuan Depdiknas.
Purcell, Edwin J. & Vanberg, D. 1995. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1, Edisi
Kelima (Terjemahan). Jakarta: Penerbit Erlangga.
Rosihan Ari Y. & Indrayastuti. 2009. Khasanah Matematika 3 untuk Kelas XII SMA/
MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan
Depdiknas.
Siswanto. 2013. Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Program Wajib. Solo: PT.
Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.
Sutrima. 2009. Wahana Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Program Ilmu
Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Depdiknas.